已知隧道的截面是矩形加半圆,若截面面积为定值S,问2x取何值时,截面周长最小?

题目

已知隧道的截面是矩形加半圆,若截面面积为定值S,问2x取何值时,截面周长最小?
矩形宽为2x,长为h

答案

我想应该是矩形宽为h,长为2x(这样设是为避免圆半径出现分数),下面按这种情况解答,如果是你给的长度关系,你只需稍加变动即可.
由矩形宽为h,长为2x,隧道的截面是矩形加半圆,截面面积为定值S,得
S=πx²+2xh=x(πx+2h),
∴截面周长C=πx+2h+2x=S/x+2x≥2√(2S),
当且仅当S/x=2x,即x=√(2S)/2 (即2x=√(2S))时,截面周长最小为2√(2S).