已知数列{an}的首项a1=a(a是常数且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N,n≥2). (Ⅰ){an}是否可能是等差数列.若可能,求出{an}的通项公式;若不可能,说明理由; (Ⅱ)设bn=a
题目
已知数列{an}的首项a1=a(a是常数且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N,n≥2).
(Ⅰ){an}是否可能是等差数列.若可能,求出{an}的通项公式;若不可能,说明理由;
(Ⅱ)设bn=an+c(n∈N,c是常数),若{bn}是等比数列,求实数c的值,并求出{bn}的通项公式.
答案
(I)∵a
1=a(a≠-1),a
2=2a+1,a
3=2a
2+1=2(2a+1)+1=4a+3,a
1+a
3=5a+3,2a
2=4a+2.
∵a≠-1,∴5a+3≠4a+2,即a
1+a
3≠2a
2,故{a
n}不是等差数列.
(II)由{b
n}是等比数列,得b
1b
3=b
2 ,即(a+c)(4a+3+c)=(2a+1+c)
2,
化简得a-c-ac+1=0,即(a+1)(1-c)=0.
∵a≠-1,∴c=1,∴b
1=a+1,q=
=2.
∴b
n=b
1q
n-1=(a+1)•2
n-1.
举一反三
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