曲线y=lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 _ ．

题目

曲线y=lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 ___ ．

答案

因为直线2x-y+3=0的斜率为2，
所以令y′=

1

x

=2，解得：x=

1

2

，
把x=

1

2

代入曲线方程得：y=-ln2，即曲线上过（

1

2

，-ln2）的切线斜率为2，
则（

1

2

，-ln2）到直线2x-y+3=0的距离d=

|1+ln2+3|

22+(-1)2

=

4+ln2

5

，
即曲线y=lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是

4+ln2

5

．
故答案为：

4+ln2

5

直线2x-y+3=0在曲线y=lnx上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x-y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x-y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键．同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用．