如果3sinβ=sin(2α+β),α+β≠π/2,α、β为锐角

题目

如果3sinβ=sin(2α+β),α+β≠π/2,α、β为锐角
（1）求证tan(α+β)=2tanα（可不做）
（2）求证tanβ<=√2/4,并指出当等号成立时,tanα的值

答案

(1)3sinβ=3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)
3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
所以tan(α+β)=2tanα
(2)tan(α+β)=2tanα
(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=2tanα
代入tanβ=tanα/[1+2(tanα)^2]
tanα>0
所以tanβ=1/[2tanα+1/tanα]
均值定理tanβ≤√2/4
当tanβ=√2/4时
2tanα=1/tanα
tanα=√2/2