利用微分进行近似计算ln（1.1）

题目

利用微分进行近似计算ln（1.1）
原本令f(x)=lnx
f(1.1)=f(1)+0.1f'(1)=0+0.1=0.1
但是为了提高精度进行如下计算
f(1.1)=f(1)+0.1[f'(1)+f'(1.1)]/2=0.095
请问,这样提高精度的原理是什么?

答案

因为导数是图线的斜率,在精度不要求太高的前提下可以利用拉格朗日中值定理进行近似计算就是第一个算式.
但第一个算式显然是认为从1到1.1是按照1处的斜率均匀增加的,但我们知道对数函数斜率是减小的,故为了提高精度,其1到1.1的增加可取1处斜率和1.1处斜率的平均值,故精度会有所提高.