口袋中有n个黑球、1个白球,每次从口袋中随机地摸出一球,并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率

题目

口袋中有n个黑球、1个白球,每次从口袋中随机地摸出一球,并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率
请用对立事件的方法来解答此问题,最好可以列出计算式,

答案

关键是看前k-1次取不取的到白球换成黑球
虽然n个球都是黑色,但其实算总的取球情况数量的时候是不一样的
比如两个黑球,只能取一个球
虽然取的两次都是黑球,但是还是算两次不同的取球
若前k-1次取不到白球,即全取了黑球
概率为[n/(n+1)]^(k-1)
所以取到白球的概率为1-[n/(n+1)]^(k-1)
取到白球后袋子里就只有黑球了,因此必取到黑球
概率为｛1-[n/(n+1)]^(k-1)｝*100%=1-[n/(n+1)]^(k-1)
没取到白球则取到黑球的概率为n/(n+1)
乘上前k-1次没取到白球的概率
得到概率为[n/(n+1)]^k
因此第k次取到黑球的概率为｛[n/(n+1)]^k+1-[n/(n+1)]^(k-1)｝