y=(1-2sinx)/( 1+3sinx)的值域
题目
y=(1-2sinx)/( 1+3sinx)的值域
答案
因为,对于sinx,其周期是2π,下面仅在x∈[0,2π]内考虑问题.
y=(1-2sinx)/(1+3sinx)
显然:sinx≠-1/3,即:x≠arcsin(-1/3)
y'=[-2cosx(1+3sinx)-3cosx(1-2sinx)]/(1+3sinx)²
y'=(-2cosx-6sinxcosx-3cosx+6sinxcosx)/(1+3sinx)²
y'=-5cosx/(1+3sinx)²
1、令:y'>0,即:-5cosx/(1+3sinx)²>0
有:5cosx<0
解得:cosx<0
即:x∈(π/2,arcsin(-1/3))∪(arcsin(-1/3),3π/2)时,y为单调增函数.
2、令:y'<0,即:-5cosx/(1+3sinx)²<0
有:5cosx>0
即:x∈[0,π/2)∪(3π/2,arcsin(-1/3))∪(arcsin(-1/3),2π]时,y为单调减函数.
综合以上,有:
①x=π/2时:y有极小值,y极小=[1-2sin(π/2)]/[1+3sin(π/2)]=-1/4
②x=3π/2时:y有极大值,y极大=[1-2sin(3π/2)]/[1+3sin(3π/2)]=-3/2
③x=arcsin(-1/3)时:y=[1-2sin(arcsin(-1/3)]/[1+3sin(arcsin(-1/3)]=∞
④x=0时:y=(1-2sin0)/(1+3sin0)=1
因此,所求值域为:y∈[-3/2,∞)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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