如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,求证:点D是线段AC的黄金分割点

题目

如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,求证:点D是线段AC的黄金分割点

答案

∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC＝∠ACB＝72²,
连结DB,
∵DM垂直平分AB,
∴DB＝DA,
∴∠DBA＝∠A＝36º,
∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝36º,
∴⊿ABC∽⊿BCD,
∴AC/BC＝BC/DC,
即BC²＝AC·DC；
在⊿BCD中,
∵∠DBC=36º,∠ACB＝72²,
∴∠BDC＝72º,
∴BC＝BD＝DA
∴AD²＝AC·DC.