大一,单调性证不等式,

题目

大一,单调性证不等式,
利用单调性证明下列不等式
x≥0时,ln(1+x)≥arctanx/(1+x)

答案

令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx(x≥0)
则f'(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x^2)
因为当x>0时,ln(1+x)>ln1=0,
所以,当x>0时,ln(1+x)+1>1/(1+x^2)
所以当x>0时,f'(x)>0
所以f(x)在[0,+无穷大)上是增函数
所以当x≥0时,f(x)≥f(0)=0
所以当x≥0时,(1+x)ln(1+x)≥arctanx
所以当x≥0时,ln(1+x)≥arctanx/(1+x)