求函数f(x)=√(x^2-4x+5)+√(x^2+2x+10)的最小值.

题目

求函数f(x)=√(x^2-4x+5)+√(x^2+2x+10)的最小值.

答案

y=√(x^2-4x+5)+√(x^2+2x+10) =√[(x-2）^2+（0-1)^2]+√[(x+1)^2+(0-3)^2].从几何上看,问题是要求一点P(x,0),使P点分别到点 M(2,1),N(-1,3)的距离之和最小.由平面几何公理,取点M与X轴对称点 M1(2,-1).则线段NM1的长即所求的最小值.NM1=√[(2+1)^2+(3+1)^2]=5,NM1直线方程为：4x+3y=5,令y=0,x=5/4,所以当x=5/4时,y有最小值,最小值5.