抛物线y2=2x上到点P直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为 _ ．

题目

抛物线y²=2x上到点P直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为 ___ ．

答案

设此点为P纵坐标是a
则a²=2x
所以P（

a2

2

，a）
P到x+y+3=0距离d=

| a2 2 +a+3|

1+1

∵

a2

2

+a+3
=

1

2

（a+1）²+

5

2

所以当a=-1，

a2

2

+a+3最小
所以P（

1

2

，-1）

设P纵坐标是a代入抛物线方程求得横坐标，进而表示出P到x+y+3=0距离，进而根据一元二次函数的性质求得当a=-1，

a2

2

+a+3最小
进而求得P点横坐标，答案可得．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，因此倍受高考命题人的青睐．