问一条关于高一任意三角角函数的题目

题目

问一条关于高一任意三角角函数的题目
已知xsinθ-ycosθ=根号(x^2+y^2)
且(sin^2θ)/a^2+(cos^2θ)/b^2=1/(x^2+y^2)
求证x^2/a^2+y^2/b^2=1

答案

因为xsinθ-ycosθ=根号(x^2+y^2),两边平方得x^2(sinθ)^2+y^2(cosθ)^2-2xysinθcosθ=x^2+y^2
左边往右边移项得x^2[1-(sinθ)^2]+y^2[1-(cosθ)^2]^2+2xysinθcosθ=0
x^2(cosθ)^2+y^2(sinθ)^2+2xysinθcosθ=0 配方得(xcosθ+ysinθ)^2=0
所以(xcosθ+ysinθ)=0,所以xcosθ= - ysinθ
因为(sin^2θ)/a^2+(cos^2θ)/b^2=1/(x^2+y^2)所以把(x^2+y^2)去分母到左边,并把左边分离成4个部分得：（x^2+y^2)(sinθ)^2/a^2 + (x^2+y^2)(cosθ)^2/b^2=1
x^2(sinθ)^2/a^2 + y^2(sinθ)^2/a^2 + x^2(cosθ)^2/b^2 +y^2(cosθ)^2/b^2 =1
把第二式中的y^2(sinθ)^2换成x^2(cosθ)^2、第三式中x^2(cosθ)^2换成y^2(sinθ)^2,这样就得x^2/a^2+y^2/b^2=1成立了