求教三星智力快车上的数学问题!

题目

求教三星智力快车上的数学问题!
三个不同的正整数,积是和的12倍,这样的数组有多少组?
希望有易懂的过程,有完整答案更好.好的话我再追分.
特别讨厌穷举法，
举个例子：4+6+10=20，4×6×10＝240＝20×12

答案

由题可得 xyz=12(x+y+z) (x+y+z)/xyz=1/12 设x+y=1/4z 则(5/4z)/xyz=1/12 1/xy=1/15 可得到 x=1 y=15 z=64 设x+y=1/2z 则有 1/xy=1/18 可得到 x=1 y=18 z=38 或x=2 y=9 z=22 或 x=3 y=6 z=18设x+y=z 则有 1/xy=1/24 ...