已知二次函数F（X）的二次项系数为a且等式F（X）=－2X的解为1和3.的解析式.

题目

已知二次函数F（X）的二次项系数为a且等式F（X）=－2X的解为1和3.的解析式.
1）若F（X）+6a=0有两个根,求F（X）的解析式
（2）若F（X）的最大值为正数,求a的取值范围

答案

设：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)
由 f(x)= -2x的解为1和3 得：
| a * 1^2 + b * 1 + c * 1 = a + b + c = -2
| 9a + 3b + c = -6
( 题目中已经给了a,故将a看为常数 )
解方程组有：b = -2-4a ,c = 3a
故f(x) = ax^2 - (2 + 4a)x + 3a (a≠0)
(1)
f(x) + 6a = ax^2 - (2 + 4a)x + 9a = 0 (a≠0)有两个根,则
△ = (2 + 4a)^2 - 36a^2 ≥ 0
解得：-1/5≤a≤1且a≠0
此时,f(x) = ax^2 - (2 + 4a)x + 3a (-1/5≤a≤1且a≠0)
(2)
f(x)有最大值,则a < 0
f(x)最大值为正数,则
当x = -b/2a = -(1+2a)/a 时,
f(x)有最大值为：f(x) = (3(1+2a)^2 + 3a^2)/a > 0
解得:a无解