已知a b是正实数,n>1,n正整数,求证1/2(a^n+b^n)>=((a+b)/2)^n

题目

已知a b是正实数,n>1,n正整数,求证1/2(a^n+b^n)>=((a+b)/2)^n

答案

（数学归纳法）(1) n=1时,(a+b)/2≥(a+b)/2成立.n=2时,(a-b)²≥0.===>a²-2ab+b²≥0.===>2(a²+b²)≥a²+2ab+b²=(a+b)².===>(a²+b²)/2≥[(a+b)/2]²,成立.（2）假设n=k时,(a^k+b^k)/2≥[(a+b)/2]^k成立.两边同乘以(a+b)/2.右边是[(a+b)/2]^(k+1).左边=[a^(k+1)+b^(k+1)+b*a^k+a*b^k]/4.又[a^(k+1)+b^(k+1)]/2-左边=(a-b)(a^k-b^k)/4,易知,无论a>b,还是a≤b,该差均≥0,即有[a^(k+1)+b^(k+1)]/2≥左边≥[(a+b)/2]^(k+1).即n=k+1时也成立.