已知定义域[0,1]的函数f(x)同时满足三个条件:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
题目
已知定义域[0,1]的函数f(x)同时满足三个条件:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(0)的值
(2)函数g(x)=2^x-1在[0,1]上是否同时满足①②③?
答案
1.
根据3
f(1)=f(0+1)>=f(0)+f(1)
f(0)<=0
根据1
所以f(0)=0
2.
验证1
g(x)=2^x-1
指数函数 单调递增
g(x)min=g(0)=0
1成立
验证2
g(x)max=g(1)=1
2成立
验证3
设x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1
f(x1+x2)-(f(x1)+f(x2))
=2^(x1+x2)-1-(2^x1-1+2^x2-1)
=2^(x1+x2)-2^x1-2^x2+1
配凑
=(2^x2-1)(2^x1-1)>=0
所以f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)
3成立
综上g(x)满足 1,2,3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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