y=f(x)是偶函数,y=f(x+1)是奇函数,那么这个函数一定是周期为2的周期函数.

题目

y=f(x)是偶函数,y=f(x+1)是奇函数,那么这个函数一定是周期为2的周期函数.
为什么

答案

必然不是……f(x)一定是周期为4的函数吧……
举例：令f(x)=cos(πx/2)（满足偶函数）,则f(x+1)=cos(πx/2+π/2)=-sin(πx/2)（满足奇函数）
而f(x)的周期是4
由题知,f(-x)=f(x),f(-x+1)=-f(x+1)
∴f(-x+1)=f(x-1)=-f(x+1)=-f[(x+2)-1]=-f[-(x+2)+1]=f[(x+2)+1]=f(x+3)
即f(x-1)=f(x+3)
∴f(x)的周期为4