已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8． （Ⅰ）求函数f（x）的极值； （Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

题目

已知函数f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

答案

（I）f′（x）=3x²+4x+1，令f′（x）=0，
解得x1＝−1或x2＝−

1

3

．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(−1，− 1 3 )	− 1 3	(− 1 3 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4；
当x＝−

1

3

时，f（x）取得极小值为−

112

27

．
（II）设F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，显然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝

2a−4

3

，
当0＜x＜

2a−4

3

时，F′（x）＜0；当x＞

2a−4

3

时，F′(x)＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min＝F(

2a−4

3

)≥0，即(

2a−4

3

)3−(a−2)(

2a−4

3

)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
当x=0时，F（x）=4满足题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，5]．