已知函数f(x)满足下列关系式：（1）对于任意的x,y∈R,恒有2f(x)f(y)=f(π/2-x+y)-f(π/2-x-y) f(π/2)=1

题目

已知函数f(x)满足下列关系式：（1）对于任意的x,y∈R,恒有2f(x)f(y)=f(π/2-x+y)-f(π/2-x-y) f(π/2)=1
已知函数f(x)满足下列关系式：
（1）对于任意的x,y∈R,恒有2f(x)f(y)=f(π/2-x+y)-f(π/2-x-y)
（2）f(π/2)=1
求证：1.f(0)=0 2.是奇函数 3.是以2π为周期的周期函数

答案

令X=Y=0,代人2f(x)f(y)=f(π/2-x+y)-f(π/2-x-y)
即得f(0)=0
对于任意的x,y∈R,因此定义域对称,
令x=π/2,带入2f(x)f(y)=f(π/2-x+y)-f(π/2-x-y)
化简 f(y)=-f（-y)
所以 为奇函数
令X=0,y=π/2 ,得到f(X)=0
令x=π,y=a+1.5π
带回原式,f(-a)=f(-2π-a)
即T=2π