函数f(x)=2sin2x 若△ABC满足f(C)+f(B-A)=2f(A),证明:△ABC是直角三角形
题目
函数f(x)=2sin2x 若△ABC满足f(C)+f(B-A)=2f(A),证明:△ABC是直角三角形
答案
f(C)+f(B-A)=2f(A)
→ 2sin2C+2sin2(B-A)=4sin2A
→ -sin(2A+2B)+sin(2B-2A)=2sin2A
→ -sin2Acos2B-sin2Bcos2A+sin2Bcos2A-sin2Acos2B=2sinA
即-2sin2ACOS2B=2sin2A
cos2B=-1 →2B=π+2kπ,k∈z
∵O<B<π
∴O<2B<2π
则B=π/2
∴△ABC是直角三角形
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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