二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠o)同时满足条件①f(3/2-x)=f(3/2+x)②f(1)=0③对任意实数x,f(x)≥1/4a-1/2恒成

题目

二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠o)同时满足条件①f(3/2-x)=f(3/2+x)②f(1)=0③对任意实数x,f(x)≥1/4a-1/2恒成
求f(x)

答案

因为f(3/2-x)=f(3/2+x)所以x=3/2是方程的对称轴,所以b/(-2a)=3/2,所以b= -3a
因为f(1)=0所以a+b+c=0,所以c=2a,所以原函数为f(x)=ax^2+（-3a)x+2a(a≠o)
因为对任意实数x,f(x)≥1/4a-1/2恒成立,所以函数有最小值,所以a>0
又因为对称轴为3/2,所以在3/2处取到最小值,化简后为（-1/4)a>=1/4a-1/2,所以a