在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1． （Ⅰ）求∠B的值； （Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．

题目

在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．

答案

（1）∵sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，∴4sin²Bcos²B+2sin²BcosB-2sin²B=0，
即2sin²B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=

π

3

．
（Ⅱ）若b=3，由上可得∠B=

π

3

，由余弦定理可得 cosB=

a2+c 2−b 2

2ac

=

1

2

，
∴b²=9=a²+c²-2ac×

1

2

=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-

3

4

 （a+c）²=(

a+c

2

)2，
∴a+c≤6，即a+c的最大值为6．