（2011•百色）如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线AB

（2011•百色）如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S₁，在l左上方部分的面积为S₂，记S为S₁、S₂的差（S≥0）．
（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与b的函数关系式．

（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．点E（4，0），
∴BE=4，AE=4，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
答：∠OAB=45°．
（2）当点M、N重合时，
∵S≥0，
∴应重合到点C（0，4），
∵把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，
∴直线l的解析式y=x+4．
（3）四边形OABC的面积为

1

2

×4（4+8）=24，
直线l：y=x+b与x轴的交角为45°，△AMN为等腰直角三角形．
当S=0时，△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半，即12．
过点N作x轴的垂线NH，
则NH=AH=MH，
设NH=a，

1

2

×2a×a=12，
解得：a=2

3

，
∴OH=8-2

3

，
∴点N的坐标为（8-2

3

，2

3

），
代入y=x+b得：b=4

3

-8．
答：当b≤0时，线段AB上存在点N使得S=0，b的值是4

3

-8．
（4）分为三种情况：①如图在N₁、M₁时，当4

3

-8≤b＜0时，
OM=-b，AM=8-（-b）=8+b，
设直线AB的解析式是y=cx+d，
把A（8，0），B（4，4）代入得：

0＝8c+d 4＝4c+d

，
解得：

c＝−1 d＝8

，
y=-x+8，
解方程组

y＝−x+8 y＝x+b

得：

x＝ 8−b 2 y＝ 8+b 2

，
S₁=

1

2

AM×NH=

1

2

×2×

8+b

2

×

8+b

2

=

1

4

b²+4b+16；
S₂=24-S₁，
S=|S₁-S₂|=

1

4

b²+4b+16-[24-（

1

4

b²+4b+16）]=

1

2

b²+8b+8，
②当0≤b≤4时，如图在N₂、M₂点时，OM=b，CM=4-b，
S₂=

1

2

（4-b）²，S₁=24-S₂，
S=S₁-S₂=-b²+8b+8，
③-8＜a＜-8+4

3

时，如图，在N₃、M₃时，S₁=

1

2

×2×

8+b

2

×

8+b

2

=

1

4

b²+4b+16；
S₂=24-S₁，
S=S₂-S₁=[24-（

1

4

b²+4b+16）]-（

1

4

b²+4b+16）=-