设长方体的体对角线长为1,经过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c.求证： ab+bc+ac≤1

题目

设长方体的体对角线长为1,经过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c.求证： ab+bc+ac≤1
是关于不等式的

答案

（a-b)²+2ab+(b-c)²+2bc+(a-c)²+2ac
=（a-b)²+（b-c)²+(a-c)²+2（ab+bc+ac）=2（a²+b²+c²）
ab+bc+ac=（a²+b²+c²）-0.5（（a-b)²+（b-c)²+(a-c)²）
由已知得a²+b²+c²=1
ab+bc+ac=1-0.5（（a-b)²+（b-c)²+(a-c)²）
因为 （a-b)²+（b-c)²+(a-c)²≥0
所以 ab+bc+ac≤1