若直线y=x+m与函数y=根号(2x+1)的图像有两个交点,求m的取值范围

题目

若直线y=x+m与函数y=根号(2x+1)的图像有两个交点,求m的取值范围

答案

这个配合作图法比较简单.
y=√(2x+1)为抛物线y^2=2x+1在上半平面的部分；
y=x+m为斜率是1的,截距为m的直线,当m改变时,是一组平行线；
当将直线往上平移,即m增加,到两者相切时,求得m值如下：
将y=x+m代入y=√(2x+1),得：
x+m=√(2x+1)
平方,得x^2+2mx+m^2=2x+1
x^2+2(m-1)x+m^2-1=0
相切入时,得判别式=4(m-1)^2-4(m^2-1)=4(-2m+2)=0,得：m=1
当往下平移时,m减小,当其中一个交点为(-1/2,0)时,此时m=1/2; 再往下平移则只有一个交点了.
因此m的取值范围是区间[1/2,1)