在△ABC中,∠BAC=90°,AD垂直BC于点D,△ABE与△ACF是等边三角形,求证△EBD∽△FAD

题目

在△ABC中,∠BAC=90°,AD垂直BC于点D,△ABE与△ACF是等边三角形,求证△EBD∽△FAD
在△ABC中,∠BAC=90°,AD垂直BC于点D,△ABE与△ACF是等边三角形,（1）求证：△EBD∽△FAD（2）求证：△DEF∽ABC

答案

（1）证明：因为 在三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直于BC于D,
所以 三角形ABD相似于三角形CAD,
所以 BD/AD=AB/AC,角ABD=角CAD,
因为 三角形ABE与三角形ACF是等边三角形,
所以 AB=BE,AC=AF,角ABE=角CAF=60度,
所以 BD/AD=BE/AF,角ABE+角ABD=角CAF+角CAD,
即： 角DBE=角DAF,
所以 三角形EBD相似于三角形FAD.
（2）证明：因为 三角形EBD相似于三角形FAD,
所以 DE/DF=BE/AF=AB/AC,
角BDE=角ADF
所以 角ADB=角EDF,
因为 AD垂直于BC于D,角ADB=90度,
所以 角EDF=90度=角BAC,
所以 三角形DEF相似于三角形ABC.