已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a5+b5＞a2b3+a3b2．

题目

已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a⁵+b⁵＞a²b³+a³b²．

答案

证：（a⁵+b⁵）-（a²b³+a³b²）=（ a⁵-a³b²）+（b⁵-a²b³）
=a³（a²-b²）-b³（a²-b²）=（a²-b²）（a³-b³）
=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）
∵a，b都是正数，∴a+b，a²+ab+b²＞0
又∵a≠b，∴（a-b）²＞0∴（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）＞0
即：a⁵+b⁵＞a²b³+a³b²．