已知函数f(x)=e^x(ax^2+a+1) a∈R.若f（x）≥2/e^2 对任意x∈[-2,-1 ]恒成立,求a的范围.

题目

已知函数f(x)=e^x(ax^2+a+1) a∈R.若f（x）≥2/e^2 对任意x∈[-2,-1 ]恒成立,求a的范围.

答案

由已知得f'(x)=e^x(ax^2+2ax+a+1)
当a=0时,f'(x)=e^x>0
此时f(x)是单调递增的,因此在x∈[-2,-1 ]时,f(x）≥f(-2)=e^(-2)与已知f(x)≥2/e^2矛盾,所以a=0不符合条件,因此a≠0
当a>0时,而ax^2+2ax+a+1的判别式=(2a)^2-4a(a+1)=-4a0,所以f‘（x）>0,即f(x)在[-2,-1]上单调递增,
因此f(x)≥f(-2)=(4a+1+1)/e^2=(5a+1)/e^2≥2/e^2
所以5a+1≥2,从而a≥1/5.
当a