有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是60°，又侧棱与底面所成的角都是45°，则这个棱锥的体积是（　　） A.1 B.3 C.34 D.32

题目

有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是60°，又侧棱与底面所成的角都是45°，则这个棱锥的体积是（　　）
A. 1
B.

3

C.

3

4

D.

3

2

答案

如图，在等腰梯形ABCD中，AD=AB=DC=1，∠ABC=60°，过A作AH⊥BC于H，则BH=BA•cos60°=12．AH=32．根据等腰梯形的性质，下底BC=AD+2BH=2．设O为BC中点，则BO=OC=1，△ABO为正三角形，∠BAO=60°，△AOC为等腰三角形...

如图，容易求出底面等腰梯形ABCD的面积．利用侧棱与底面所成的角都是45°，确定出顶点P在底面的射为RT△BAC外心．即为BC中点O，得出高PO，利用锥体体积公式计算即可．

本题考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查锥体体积的计算，考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力．关键是确定出顶点P在底面的射为RT△BAC外心．