抛物线Y=-(X^2)/2与过点M(0,1)的直线L相交于A,B两点,0为坐标原点,若直线OA于OB的斜率之和为1,求直线L的方程

题目

抛物线Y=-(X^2)/2与过点M(0,1)的直线L相交于A,B两点,0为坐标原点,若直线OA于OB的斜率之和为1,求直线L的方程

答案

令,点A坐标为(X1,Y1)点B坐标为(X2,Y2),
设,直线OA,OB的斜率分别为K1,K2.
K1=Y1/X1,K2=Y2/X2.
K1+K2=1,
Y1/X1+Y2/X2=1,(Y1*X2+Y2*X1)/X1*X2=1.
直线L过点M(0,1),设,直线L的方程式为Y=KX+1.
因为:Y=-X^2/2,
X^2+2Y=0,Y=KX+1,
X^2+2KX+2=0,
X1+X2=-2K,X1*X2=2.
而,(Y1*X2+Y2*X1)/X1*X2=1,Y1=KX1+1,Y2=KX2+1.
X2(KX1+1)+(KX2+1)*X1=2,
2K(X1*X2)+(X1+X2)=2,
2K*2+(-2K)=2,
K=1.
则直线L的方程为
Y=X+1.