f(x)=|x|(-pi

题目

f(x)=|x|(-pi

答案

根据题意,f(x)=|x|为周期为2π的函数,而且因为f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数.f(x)可展开为傅里叶级数:
f(x)=a0+ ∑(n=1→∞)(ancosnωx+ bnsinnωx)
上式中:ω=2π/2π=1,系数a0、an、bn由下式决定:
a0=(1/2π)∫(-π,π)f(x)dx
=(1/2π)∫(-π,π)|x|dx
=(1/2π)×2×∫(0,π)xdx
=π/2
an=(1/π)∫(-π,π)|x|cosnωxdx
=(2/π)∫(0,π)xcosnxdx
=(2/nπ)∫(0,π)xdsinnx
=(2/nπ)[xsinnx(0,π)-∫(0,π)sinnxdx]
=(2/nπ)[(1/n)cosnx(0,π)]
=2((-1)^n-1)/(πn^2)
bn=(1/π)∫(-π,π)|x|sinnωxdx
由于|x|sinnωx是奇函数,所以bn=0,所以:f(x)=π/2+ ∑(n=1→∞)2((-1)^n-1)/(πn^2)cosnx,
由上面可见,当n为偶数时,an=0,所以
f(x)可写作如下形式:
f(x)=π/2+ ∑(n=1→∞)(-4)/[π(2n-1)^2]cosnx,即
|x|=π/2-(4/π)∑(n=1→∞)cosnx/(2n-1)^2