设n是正奇数,试证:1^n+2^n+……+9^n-3(1^n+6^n+8^n)能被18整除

题目

设n是正奇数,试证:1^n+2^n+……+9^n-3(1^n+6^n+8^n)能被18整除

答案

1^n 3^n 5^n 7^n 9^n 都是奇数 2^n 4^n 6^n 8^n 为偶数,所以 1^n+2^n+...+9^n 为奇数
3（1^n+6^n+8^n）也为奇数
所以原式 = 偶数 即 原式能被2整除,只要再证明原式可以被9整除即可：
对于 n 为正奇数
有：a^n+b^n = (a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2-...+b^(n-1))=(a+b)*p (p为整数)
原式 = (1^n+8^n) + (2^n+7^n) + (3^n + 6^n) + (4^n + 5^n) + 9^n - 3 (1^n + 8^n) - 3 * 6^n
(1+8)*p1 + (2+7)*p2 + ...+ 9^n - 3* (1+8)*p1 - 2^n * 3^(n+1)
前几项明显均可被9整除
而 n+1为正偶数 看作 2q （q为正整数）
末项 = 2^n * 9^q 也可被9整除
所以原式可被9整除
综上 原式可被18整除