在△ABC中，内角A，B，C，对边的边长分别是a，b，c，若B，A，C三角成等差数列，且a，b，c，三边成等差数列，（1）求bsinBc的值．（2）探求sinB+sinC取值范围．

题目

在△ABC中，内角A，B，C，对边的边长分别是a，b，c，若B，A，C三角成等差数列，且a，b，c，三边成等差数列，
（1）求

bsinB

c

的值．
（2）探求sinB+sinC取值范围．

答案

∵B，A，C三角成等差数列，∴2A=B+C，即A=60°，且B+C=120°，
∵a，b，c三边成等差数列，∴2b=a+c，
由正弦定理得2sinB=sinA+sinC，即2sin

B

2

cos

B

2

=2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2cos

B

2

cos

A-C

2

，
∴2sin

B

2

=cos

A-C

2

≤1，即sin

B

2

≤

1

2

，
∴0<B≤60°，
若a≤b≤c，可得A≤B≤C，即A=B=C=60°；
若c≤b≤a，可得C≤B≤A，即A=B=C=60°，
∴△ABC为等边三角形，即a=b=c，
（1）

bsinB

c

=

b× 3 2

b

=

3

2

；
（2）sinB+sinC=

3

2

+

3

2

=

3

．

由三角成等差数列得到A为60°，B+C=120°，由三边成等差数列得到2b=a+c，利用正弦定理化简，整理后求出sin

B

2

的范围，确定出B的范围，进而确定出三内角都为60°，即三角形ABC为等边三角形，
（1）将B为60°及b=c代入计算即可求出值；
（2）将B与C度数代入计算即可求出值．

本题考点：正弦定理；等差数列的通项公式．

考点点评：此题考查了正弦定理，等差数列的性质，二倍角的正弦函数公式，以和差化积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．