求解一道初等数论题

题目

求解一道初等数论题
求证当p大于3时 (p-1)![1+1/2+1/3+.+1/(p-1)]能被p的平方整除,p是质数

答案

符号说明：
==指同余号≡.
a|:ba==0 mod bb|a
题：X=1+1/2+1/3+.+1/(p-1),求证(p-1)!X｜：pp,p素>3
证：
X=(1+1/(p-1)) + (1/2+1/(p-2))+...+(...)
=p(1/(p-1)+1/(2(p-2))+...)
=p*Y
故只须证(p-1)!Y|:p
(p-1)!Y=sum(p-1)!/(i(p-i)),i=1,...,(p-1)/2
设 _i==(p-1)!/(i(p-i)) mod p (###)
由wilson定理：(p-1)!==-1 mod p
得 ii* _i==1 mod p
（这是ii是指i^2,_i见###式的指定）
依二次剩余相关理论,_i是p的二次剩余（易证,略）
并且,当i取遍1,2,...,(p-1)/2时,_i取遍p的二次剩余（易证,略）.
显然二次剩余是成对的：
如果k是p的二次剩余,p-k必定也是.
从而：sum(_i)==sum(p的所有二次剩余)
==1+2^2+3^2+...+((p-1)/2)^2
=((p-1)/2)((p-1)/2+1)(2*((p-1)/2)+1)/6
=(p-1)/2*(p+1)/2*p/6
当p是6的约数,即p=2,3时,代入p值可得知上式不能被p整除.
在其他情况下,显然sum (_i)==0 mod p
从而原命题得证.