已知:在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,FE:FD=4:3. (1)求证:AF=DF; (2)求∠A
题目
已知:在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交
AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,FE:FD=4:3.
(1)求证:AF=DF;
(2)求∠AED的余弦值;
(3)如果BD=10,求△ABC的面积.
答案
(1)证明:∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠CAE
∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE
∵∠ADE=∠BAD+∠B
∴∠ADE=∠DAE
∴EA=ED
∵DE是半圆C的直径
∴∠DFE=90°
∴AF=DF(2分)
(2)连接DM
∵DE是半圆C的直径
∴∠DME=90°
∵FE:FD=4:3
∴可设FE=4x,则FD=3x
∴DE=5x
∴AE=DE=5x,AF=FD=3x
∵AF•AD=AM•AE
∴3x(3x+3x)=AM•5x
∴AM=
x
∴ME=AE-AM=5x-
x=
x
在Rt△DME中,cos∠AED=
==(5分)
(3)过A点作AN⊥BE于N
∵cos∠AED=
∴sin∠AED=
∴AN=
AE=
x
在△CAE和△ABE中
∵∠CAE=∠B,∠AEC=∠BEA
∴△CAE∽△ABE
∴
=∴AE
2=BE•CE
∴(5x)
2=(10+5x)•
x
∴x=2
∴AN=
x=
∴BC=BD+DC=10+
×2=15
∴S
△ABC=
BC•AN=
×15×
=72(8分).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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