怎么求下列行列式 1+a 1 1 1 -1 1+a 1 1 -1 -1 1+a 1 -1 -1 -1 1+a

题目

怎么求下列行列式 1+a 1 1 1 -1 1+a 1 1 -1 -1 1+a 1 -1 -1 -1 1+a
1+a 1 1 1
-1 1+a 1 1
-1 -1 1+a 1
-1 -1 -1 1+a

答案

这题不大,就是有些麻烦
D4=
1 1 1 1
-1 1+a 1 1
-1 -1 1+a 1
-1 -1 -1 1+a
+
a 1 1 1
0 1+a 1 1
0 -1 1+a 1
0 -1 -1 1+a
第1个行列式: r2+r1,r3+r1,r4+r1
第2个行列式: 按第1列展开
1 1 1 1
0 2+a 2 2
0 0 2+a 2
0 0 0 2+a
+
aD3
所以 D4 = aD3 + (2+a)^3
递归 (也可以用对角线法则直接计算D3后代入)
D4 = a[aD2+(2+a)^2] + (2+a)^3
= a^2D2 + a(2+a)^2 + (2+a)^3
= a^2(a^2+2a+2) + a(2+a)^2 + (2+a)^3
= a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 16a + 8
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