已知在△ABC中,AB=AC,角BAC=90°,AD∥BC,BD=BC,AC交BD于点E.求证:DC=EC

题目

已知在△ABC中,AB=AC,角BAC=90°,AD∥BC,BD=BC,AC交BD于点E.求证:DC=EC

答案

两种方法都需要添加辅助线构造全等三角形
如图
方法一：作∠BAC的平分线AG交 BD 于G
而∠BAC = 90° 所以∠BAG =∠GAD =45°
在直角三角形 ABF 中 ,∠1 + ∠BAF = 90°
在直角三角形 ABC 中,∠2 + ∠BAF = 90°
∴∠1 =∠2 ①
而AB = AC ②∠ACB=∠ABC = 45°所以∠BAG =∠ACB= 45°③
由①②③知 △ABG ≌△ACE （ASA）
∴ AG = CE ④
而AD = DC ⑤ ∠GAD = ∠ACE = 45°⑥
由④⑤⑥知 △AGD ≌△DEC (SAS)
∴∠ADB = ∠CDE
方法二：作直角ACH,即过C作AC的垂线交AE的延长线于H
∴∠ACH = ∠BAC = 90°①
在直角三角形 ABF 中 ,∠1 + ∠BAF = 90°
在直角三角形 ABC 中,∠2 + ∠BAF = 90°
∴∠1 =∠2 ② 而AB = AC ③
由①②③知△ABD ≌△ACH （ASA）
∴AD =CH ,∠ADB =∠EHC
而AD = DC ∴DC = CH ④
∵AB = AC ∴∠ACB= 45°而∠ACH = 90°∴∠ECH = ∠ACB= 45°⑤
而 CE = CE ⑥
由④⑤⑥知 △CDE ≌△CHE (SAS)
∴∠EDC=∠EHC=∠ADB
故∠ADB = ∠CDE