若不等式x2-2ax+a+6＞0 在x∈[-2，2]时总成立，求实数a的取值范围．

题目

若不等式x²-2ax+a+6＞0 在x∈[-2，2]时总成立，求实数a的取值范围．

答案

令f（x）=x²-2ax+a+6     x∈[-2，2]，
则[f(x)] min=

10+5a   (a＜-2) -a 2+a+6  (-2≤a≤2) 10-3a  (a＞2)

椐题意知[f（x）]_min＞0，解这个不等式得-2＜a＜

10

3

所以实数a的取值范围是（-2，

10

3

）

构造二次函数f（x）=x²-2ax+a+6，将不等式恒成立的问题转化为函数在x∈[-2，2]上的最小值为正数，求出这个最小值，便可以得出实数a的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．

考点点评：本题考查的知识点是含有二次的不等式恒成立问题，属于中档题．利用二次函数的性质是解答本题的关键，解决含有二次的不等工或方程问题的前提是熟练掌握二次函数、一元二次不等式与一元二次方程，以及之间的转化关系．