设四边形ABCD的面积为一,将边AD三等分,分点为E.F,设AE=EF=FD,又将BC三等分,分点为H.G,使BH=HG=GC

题目

设四边形ABCD的面积为一,将边AD三等分,分点为E.F,设AE=EF=FD,又将BC三等分,分点为H.G,使BH=HG=GC
连接EF,GH 求证S四边形EFGH=1/3

答案

图片传不上去,按照我说的画图
证明：连接BE,BD,DG,EG

①第一步要证明S△ABE+S△CDG=1/3

在△ABE和△ABD中,由于E为AD的三等分点,所以AE=AD/3且两个三角形在AD边上的高h相同.由三角形面积公式S=底×高/2,
得出S△ABE=1/2×AE×h=1/2×AD/3×h=1/3×（1/2×AD×h）=S△ABD/3

同理,在△CDG和△BCD中,由于G为BC三等分点,所以CG=BC/3且两个三角形在BC边上的高相同.由三角形面积公式,得出S△CDG=S△BCD/3

∵S△ABD+S△BCD=S四边形ABCD=1
∴SS△ABE+S△CDG=S△ABD/3+S△BCD/3=1/3（S△ABD+S△BCD）=1/3

②证明S△BEH+S△DFG=S四边形EFGH

∵在△BEH和△EGH中,H和G为BC三等分点,得BH=HG且BH与HG上的高相同.由三角形面积公式得S△BEH=S△EGH
同理,在△DFG和△EFG中,F和E为AD三等分点,得DF=EF且DF与EF上的高相同.由三角形面积公式得S△DFG=S△EFG
∴S△BEH+S△DFG=S△EGH+S△EFG=S四边形EFGH

根据①的结论,得出S四边形BEDG=S四边形ABCD-①=2/3
又根据②的结论,得出S四边形EFGH=S四边形BEDG/2=1/3
证毕