求曲面az=x^2+y^2(a>0)与曲面z=(x^2+y^2)^(-1/2)所围成立体的重心坐标.

题目

求曲面az=x^2+y^2(a>0)与曲面z=(x^2+y^2)^(-1/2)所围成立体的重心坐标.

答案

设重心M(x0,y0,z0)
两个曲面联立得到az=z^2
所以z1=0,z2=a为所围成的立体z的范围.
所围成的立体的外侧,是az=x^2+y^2,水平截面可以表示为(r1)^2=az的圆.
内侧是z=(x^2+y^2)^(-1/2),水平截面可以表示为r2=z的圆.
因为对称性,所以x0=y0=0
下面求z0
设A=∫∫∫dV=∫dz∫∫dxdy=∫(0->a)dz *[π(r1)^2-π(r2)^2]
=π∫(0->a) (az-z^2)dz
=πa^3/6
B=∫∫∫zdV=∫zdz ∫∫dxdy=∫(0->a) zdz *[π(r1)^2-π(r2)^2]
=π∫(0->a) z(az-z^2)dz
=πa^4/12
所以z0=B/A=a/2
所以中心M(0,0,a/2)