有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N． （1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹． （

题目

有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．

（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹．
（2）若BE=

2

，试求出AM的长．
（3）当点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由．

答案

（1）连接AE，并作AE的中垂线，交AB与M、交AD与N．如图：（3分）（2）连接ME，如图1，∵BE=2，设BM=x，则ME=2-x，由勾股定理可得：BM2+BE2=ME2，∴2+x2=（2-x）2，∴2+x2=4-4x+x2，∴x=12，∴AM=32；（3）延长NM交CB...

（1）连接AE，并作AE的中垂线，交AB与M、交AD与N，即可作出折痕MN；
（2）连接ME，设BM=x，则ME=2-x，由勾股定理可得：BM²+BE²=ME²，即可得方程，解方程即可求得AM的值；
（3）延长NM交CB延长线于G点，由BE=x，令BM=a，即可得a²+x²=（2-a）²，则可求得AM的值，又由△GBM∽△ANM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y关于x的函数解析式；
（4）若BC上存在点E，要使△AME∽△DNE，则△ABE∽△DEC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的值．

本题考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．