a1=3,且an=Sn-1+2^n,求an及Sn

题目

a1=3,且an=Sn-1+2^n,求an及Sn
为什么以an/2^n为一项求出来的与以Sn/2^n为一项求出来的通项什么的是不一样的?我觉得用的是同一个原理...

答案

由an=Sn-S(n-1),可得 Sn-2S(n-1)=2^n →Sn/2^n-S(n-1)/2^(n-1)=1 →{Sn/2^n}是以3/2为首项,1为公差的等差数列 →Sn/2^n=(n+2)/2 →Sn=(2n+1)*2(n-1) an=Sn-S(n-1)=(2n+1)*2^(n-1)-(2n-1)*2^(n-2)=(2n+3)*2^(n-2) →a1=3,an=(2n+3)*2^(n-2),n>1 PS:刚才我也用an/2^n算了好久,但是发现a1不满足那个等差数列,也就从a2/2^2才是那个等差数列的第一项,这样难算多了.所以建议先算Sn