为什么 e^(ix) = cosx + isinx

题目

为什么 e^(ix) = cosx + isinx

答案

要证明这个结论,需要一定的知识基础
1）泰勒级数
2）求导运算
希望已经具备.
首先给出泰勒展开公式.
一个可导函f(x)可以在 x0 点处进行展开.
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!* (x-x0)^n
按照这个可以对 cosx 和 sinx 在 x=0 处进行展开
f(x)=cosx
=cos0 - sin0 * x -cos0 * x^2/2!+ sin0 * x^3/3!+ cos0 * x^4/4!……
= 1 - x^2/2!+ x^4/4!- x^6/6!+ ……
f(x)=sinx
=sin0 + cos0 * x -sin0 * x^2/2!- cos0 * x^3/3!+ sin0 * x^4/4!+ ……
= x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ ……
同样,也可以对 f(x) = e^x 进行 x=0 处的泰勒展开.
f(x) = e^x
=e^0 + e^0 * x + e^0 * x^2/2!+ e^0 * x^3/3!+ …… + e^0 * x^n/n!
=1 + x + x^2/2!+ x^3/3!+ …… + x^n/n!
用 ix 替换上面的x,得到 e^(ix)的多极泰勒展开.
f(x) = e^(ix)
=1 + ix - x^2/2!-ix^3/3!+ x^4/4!+ ix^5/5!- x^6/6!
=(1 - x^2/2!+ x^4/4!- x^6/6!+ ……) + i (x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ ……)
可以看到 第一个括弧中的表达式恰好与 cosx 的展开式相同,第二个括弧中的展开式与 sinx 的展开式相同.
因此
e^(ix) = cosx + isinx