已知正数a,b,c满足a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=10,则abc的最小值为?

题目

已知正数a,b,c满足a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=10,则abc的最小值为?

答案

最小值为1/32.三种情况下取得此最小值：（1/2,1/4,1/4）、（1/4,1/2,1/4）、（1/4,1/4,1/2）.
由a+b+c=1得b+c=1-a.
由1/a+1/b+1/c=10得1/b+1/c=10-1/a,整理得(b+c)/bc=(10a-1)/a,由此得bc=a(1-a)/(10a-1).
所以,abc=a^2(1-a)/(10a-1).求此式最小,此式中仅有一个变量a.
讨论a的取值范围.
由于b+c=1-a,bc=a(1-a)/(10a-1),又(b+c)^2-4bc=(b-c)^2>=0.
所以,(1-a)^2-4a(1-a)/(10a-1)>=0,整理得-10a^2+7a-1>=0,所以1/5