跟据数学递推公式求通相公式的高级方法

题目

跟据数学递推公式求通相公式的高级方法
有一些递推公式很抽象,一般的方法对求通项公式不管用,希望能有一些数学大神们传授我方法,越多越好!

答案

生成函数法!
生成函数法
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a1=a2=1,an+2=an+an+1 求an=
令g(x)=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+...+…+an+2xn+2… (1)其中an就是费氏数列第n项
则xg(x)= a1x2+a2x3+a3x4+...…++an+1xn+2… (2)
x2 g(x)= a1x3+a2x4+...…++anxn+2… (3)
(1)-(2)-(3)
(1-x-x2)g(x)=x(注意到因为费氏数列的定义,所以xn+2项系数皆为0)
g(x)=, 是1-x-x 2=0的两根(请自行验证), 容易算出
A=,B=
所以,g(x)= 其中xn项的系数即为an,所以
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[后记]
上式是A.de Moivre於1730年发现,生成函数法是数理统计中重要的方法,求 an的显式当然先於用数学归纳法的证明
定义b0=0,b1=1,bn+2=bn+1+bn+an,其中an是费氏数列 ,试用an,an+1表示bn
(称为second order费氏数列)
用生成函数法求12+22+32+...+n2=
(传播季刊第22卷第4期 蔡聪明)