在四棱锥P—ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD//AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的正三角形,

题目

在四棱锥P—ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD//AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的正三角形,
且平面PAD⊥平面ABCD,E是PA的中点
(1)求证：DE//平面PBC
(2)求三棱锥A—PBC的体积.

答案

（1）
在△PAB中,过E做EF//AB,交PB于F
连接 FC
因为 E是PA的中点,
所以 EF=AB/2=4/2=2=CD
所以 EFCD 是平行四边形
所以 DE//CF
所以 DE//面PBC
（2）
已知 △PAD是等边三角形,边长=2
故 AD=2
因此 底面ABCD面积=(2+4)*2/2=6
因为 面PAD⊥平面ABCD
所以 四棱锥的高=△PAD的高=2√3/2=√3
所以 四棱锥体积=ABCD面积*高/3=6*√3/3=2√3