如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,将该矩形绕点A顺时针方向一个角度α,到矩形AB’C’D’的位置

题目

如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,将该矩形绕点A顺时针方向一个角度α,到矩形AB’C’D’的位置
问题（1）当α=30°时,求两个矩形重叠部分的面积?
（2）当Sinα=1/3时,两个矩形的重叠部分面积是多少

答案

过D'作D'E⊥AD于E,则D'E=AD'sinα
(1)当α=30°时,D'E=AD'sinα=2sin30°=1=CD
所以:D'刚好落在BC边上,两个矩形重叠部分是一个直角三角形
它的一边直角边为:AB=1,另一直角边:BD'=AE=AD'cosα=2cos30°=√3
所以,两个矩形重叠部分的面积为:
S=1/2*AB*BD'=1/2*1*√3=√3/2
(2)当Sinα=1/3时,D'E=AD'sinα=2*1/3=2/3
设D'E交BC于F,C'D'交BC于P,
所以,两个矩形的重叠部分是四边形ABPD',它的面积等于梯形ABFD'的面积减去△PD'F的面积
BF=AE=AD'cosα=2√[1-(sinα)^2]=2√[1-(1/3)^2]=4√2/3
D'F=CD-D'E=1-2/3=1/3
PF=D'Ftanα=1/3*1/3/(2√2/3)=√2/12
所以,两个矩形的重叠部分面积是:
S=SABFD'-S△PD'F=(D'F+AB)*BF/2-D'F*PF/2=[(1/3+1)*4√2/3]/2-(1/3*√2/12)/2=7√2/8