如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,P是AB上一点,连接PC,设∠BCP=m∠ACP,当AP=3/2时,是否存在正整数m

题目

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,P是AB上一点,连接PC,设∠BCP=m∠ACP,当AP=3/2时,是否存在正整数m
使PC垂直于AB?如果存在,求出m的值,如果不存在,说明理由

答案

假定存在正整数 m 使PC垂直于AB.那么∠APC=90°.
因为∠BCP+∠ACP=∠ACB=90°,∠ACP+∠CAB=90°
所以∠CAB=∠BCP=m∠ACP,Rt△ABC与Rt△ACP相似
同理∠CBA=∠ACP,从而∠CAB=m∠CBA,m=∠CAB/∠CBA
由Rt△ABC与Rt△ACP相似,得
AC/AP=AB/AC,即AC/(3/2)=6/AC,AC=3
Sin（∠CBA）=AC/AB=3/6=1/2
∠CBA=30°,所以∠CAB=60°
m=∠CAB/∠CBA=60/30=2
故m是存在的,假定成立.