若a,b,c∈R+,a+b+c=1,则M=8/(27-27a)与N=(a+b)(a+c)的大小关系是

题目

若a,b,c∈R+,a+b+c=1,则M=8/(27-27a)与N=(a+b)(a+c)的大小关系是

答案

原问题可以通过两边乘以1-a 和带入 a+b = 1-c ; a+c = 1-b 转化为：
8/27 与 (1-a)(1-b)(1-c) 比较大小 (需注意a b c在0-1之间)
注意到有算术平均大于等于几何平均,我们拼凑：
[(1-a)+(1-b)+(1-c)]/3 >= [(1-a)(1-b)(1-c)]^1/3
带入条件有(2/3)^3 >= (1-a)(1-b)(1-c)
于是M >= N