设函数fx对任意的a,b∈R,都有fa+b=fa+fb-1,且当x>0,fx>1

题目

设函数fx对任意的a,b∈R,都有fa+b=fa+fb-1,且当x>0,fx>1
1,求证fx是R上的增函数.2若f4=5,解不等式f3m-m-2＜3
f(a+b)=f(a)+f(b)-1

答案

（1）证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1,且x＞0时,f（x）＞1,
设x1＜x2,则x2﹣x1＞0,f（x2﹣x1）＞1,
∴f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）
=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）=f（x2﹣x1）﹣1＞1﹣1=0,
∴f（x）是R上的增函数；
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5,
∴f（2）=3．
∴f（3m2﹣m﹣2）＜3=f（2）,
又f（x）是R上的增函数；
∴3m2﹣m﹣2＜2,
∴-1